Teknik Riset Operasional

Teknik Riset Operasional

RISET OPERASIONAL
BAB I. PENDAHULUAN


1. Pengertian Riset Operasi
Riset Operasi adalah metode untuk memformulasikan dan merumuskan
permasalahan sehari-hari baik mengenai bisnis, ekonomi, sosial maupun bidang
lainnya ke dalam pemodelan matematis untuk mendapatkan solusi yang optimal.

2. Pemodelan Matematis
Bagian terpenting dari Riset Operasi adalah bagaimana menerjemahkan
permasalahan sehari-hari ke dalam model matematis. Faktor-faktor yang
mempengaruhi pemodelan harus disederhanakan dan apabila ada data yang
kurang, kekurangan tersebut dapat diasumsikan atau diisi dengan pendekatan yang
bersifat rasional. Dalam Riset Operasi diperlukan ketajaman berpikir dan logika.
Untuk mendapatkan solusi yang optimal dan memudahkan kita mendapatkan
hasil, kita dapat menggunakan komputer. Software yang dapat digunakan antara
lain: LINDO (Linear, Interactive and Discrete Optimizer) dan POM For
Windows.

BAB II. PROGRAM LINEAR

Program linear adalah salah satu model matematika yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan
fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input.
Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian
masalah dan apa penyebab masalah tersebut.
Dua macam fungsi Program Linear:
♦ Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah
♦ Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.
1. Masalah Maksimisasi
Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.
Contoh:
PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2
jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua
produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan
tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari,
benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap
unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel
berikut:

Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain
sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana
menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari
agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.
Langkah-langkah:
• Tentukan variabel
X1=kain sutera
X2=kain wol
• Fungsi tujuan
Zmax= 40X1 + 30X2
• Fungsi kendala / batasan
1. 2X1 + 3X2 ≤ 60 (benang sutera)
2. 2X2 ≤ 30 (benang wol)
3. 2X1 + X2 ≤ 40 (tenaga kerja)
• Membuat grafik
1. 2X1 + 3 X 2=60
X1=0, X2 =60/3 = 20
X2=0, X1= 60/2 = 30
2. 2X2 ≤ 30
X2=15
3. 2X1 + X2 ≤ 40
X1=0, X2 = 40
X2=0, X1= 40/2 = 20

Cara mendapatkan solusi optimal:
1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.
Titik A
X1=0, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
X1=20, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20 X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)
Titik D
2X2 = 30
X2 = 15
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3 . 15 = 60
2X1 + 45 = 60
2X1 = 15 X1 = 7,5
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
X2 = 15
X1 = 0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450
Kesimpulan :
untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan
keuntungan sebesar Rp 900 juta.
2. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.
Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah
feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin.
Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala
(1) dan (3).
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20
X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900


BAHAN KULIAH RISET OPERASIONAL
TEK INFORMATIKA UPN YOGYAKARTA
BAMBANG YUWONO
9
2 . Masalah Minimisasi
Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai
pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan
titik origin.
Contoh :
Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan
yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung
vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly
paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan
protein dalam setiap jenis makanan:
Jenis makanan Vitamin (unit) Protein (unit) Biaya per unit
(ribu rupiah)
Royal Bee 2 2 100
Royal Jelly 1 3 80
minimum kebutuhan 8 12
Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan
biaya produksi.
Langkah – langkah:
1. Tentukan variabel
X1 = Royal Bee
X2 = Royal Jelly
2. Fungsi tujuan
Zmin = 100X1 + 80X2
3. Fungsi kendala
1) 2X1 + X2 ≥ 8 (vitamin)
2) 2X1 + 3X2 ≥ 12 (protein)
3) X1 ≥ 2
4) X2 ≥1
4. Membuat grafik
1) 2X1 + X2 = 8
X1 = 0, X2 = 8
X2 = 0, X1 = 4
2) 2X1 + 3X2 = 12
X1 = 0, X2 = 4
X2 = 0, X1 = 6
3) X1 = 2
4) X2 = 1
Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu
persilangan garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12
-2X2 = -4 X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6 X1 = 3
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460

BAB III. METODE SIMPLEX

Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki
variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk
menyelesaikannya digunakan Metode Simplex.
Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, antara lain:
1. Nilai kanan (NK / RHS) fungsi tujuan harus nol (0).
2. Nilai kanan (RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai
tersebut harus dikalikan –1.
3. Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah ke bentuk “=” dengan
menambahkan variabel slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut juga
variabel dasar.
4. Fungsi kendala dengan tanda “≥” diubah ke bentuk “≤” dengan cara
mengalikan dengan –1, lalu diubah ke bentuk persamaan dengan
ditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif, dikalikan
lagi dengan –1 dan ditambah artificial variabel (M).
5. Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variabel (M).
Pembuatan Tabel Simplex
Contoh soal:
Z = 3X1 + 5X2
Kendala:
1) 2X1 ≤ 8
2) 3X2 ≤ 15
3) 6X1 + 5X2 ≤ 30
Langkah-langkah:
1. Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala (lihat beberapa ketentuan yang
harus diperhatikan di atas!)
Fungsi tujuan
Z = 3X1 + 5X2 => Z - 3X1 - 5X2 = 0
Fungsi kendala
1) 2X1 ≤ 8 => 2X1 + X3 = 8
2) 3X2 ≤ 15 => 3X2 + X4 = 15
3) 6X1 + 5X2 ≤ 30 => 6X1 + 5X2 + X5 = 30
(X3, X4 dan X5 adalah variabel slack)
2. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 3 0 1 0 15
X5 0 6 5 0 0 1 30

3. Memilih kolom kunci
Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai nilai pada baris Z yang bernilai
negatif dengan angka terbesar.
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 3 0 1 0 15
X5 0 6 5 0 0 1 30

4. Memilih baris kunci
Nilai kanan (NK)
Nilai kolom kunci
Baris kunci adalah baris yang mempunyai index terkecil
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8 ~
X4 0 0 3 0 1 0 15 5
X5 0 6 5 0 0 1 30 6
Index =
angka kunci koef angka kolom kunci
5. Mengubah nilai-nilai baris kunci
=> dengan cara membaginya dengan angka kunci
Baris baru kunci = baris kunci : angka kunci
sehingga tabel menjadi seperti berikut:
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8 ~
X2 0 0 1 0 1/3 0 5 5
X5 0 6 5 0 0 1 30 6

6. Mengubah nilai-nilai selain baris kunci sehingga nilai-nilai kolom kunci
(selain baris kunci) = 0
Baris baru = baris lama – (koefisien angka kolom kunci x nilai baris
baru kunci)
Baris Z
Baris lama [ -3 -5 0 0 0 0 ]
NBBK -5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]
Baris baru -3 0 0 5/3 0 25
Baris X3
Baris lama [ 2 0 1 0 0 8 ]
NBBK 0 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]
Baris baru 2 0 1 0 0 8
Baris X5
Baris lama [ 6 5 0 0 1 30 ]
NBBK 5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]
Baris baru 6 0 0 -5/3 1 5

Masukkan nilai di atas ke dalam tabel, sehingga tabel menjadi seperti berikut:
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -3 0 0 5/3 0 25
X3 0 2 0 1 0 0 8
X2 0 0 1 0 1/3 0 5
X5 0 6 0 0 -5/3 1 5

7. Melanjutkan perbaikan-perbaikan (langkah 3-6) sampai baris Z tidak ada
nilai negatif
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -3 0 0 5/3 0 25
X3 0 2 0 1 0 0 8 4
X2 0 0 1 0 1/3 0 5 ~
X5 0 6 0 0 -5/3 1 5 5/6

Z 1 0 0 0 5/6 1/2 27½ Zmax
X3 0 0 0 1 5/9 -1/3 6 1/3
X2 0 0 1 0 1/3 0 5
X1 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6

Diperoleh hasil: X1 = 5/6 , X2 = 5, Zmax = 27 ½

SOAL LATIHAN
1. Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex
Maksimumkan Z = 400X1 + 300X2
Fungsi kendala/ batasan:
1) 4X1 + 6X2 ≤ 1200
2) 4X1 + 2X2 ≤ 800
3) X1 ≤ 250
4) X2 ≤ 300
PENYIMPANGAN - PENYIMPANGAN BENTUK STANDAR
1. Fungsi batasan dengan tanda sama dengan (=)
=> ditambah dengan variabel buatan
Contoh :
Fungsi kendala:
1) 2X1 ≤ 8 => 2X1 +X3 = 8
2) 3X2 ≤ 15 => 3X2 +X4 = 15
3) 6X1 + 5X2 = 30 => 6X1 + 5X2 + X5 = 30
Fungsi tujuan:
Z = 3X1 + 5X2 => Z – 3X1 – 5X2 + MX5 = 0
Nilai setiap variabel dasar (X5) harus sebesar 0, sehingga fungsi tujuan harus
dikurangi dengan M dikalikan dengan baris batasan yang bersangkutan (3). Nilai
baris Z sebagai berikut:
[ -3 -5 0 0 M , 0 ]
M [ 6 5 0 0 1 , 30]
(-6M-3) (-5M-5) 0 0 0 -30M
Tabel:
Var.Dsr Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 -6M-3 -5M-5 0 0 0 -30M
X3 0 2 0 1 0 0 8 4
X4 0 0 3 0 1 0 15 ~
X5 0 6 5 0 0 1 30
VD Z X1 X2 X3 X4 X5 NK index
Z 1 0 -5M-5 3M+3/2 0 0 -6M+12
X1 0 1 0 1/2 0 0 4 ~
X4 0 0 3 0 1 0 15 5
X5 0 0 5 -3 0 1 6 6/5

Z 1 0 0 -3/2 0 M+1 18
X1 0 1 0 ½ 0 0 4 8
X4 0 0 0 9/5 1 -3/5 19/3 5/27
X2 0 0 1 -3/5 0 1/5 6/5 -2

Z 1 0 0 0 5/6 M+1/2 27 ½ max
X1 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6
X3 0 0 0 1 5/9 -1/3 6 1/3
X2 0 0 1 0 1/3 0 5

Diperoleh hasil : X1 = 5/6, X2 = 5 dan Zmax = 27 ½
2. Fungsi tujuan : Minimisasi
Soal minimisasi harus diubah menjadi maksimisasi dengan cara mengganti tanda
positif dan negatif pada fungsi tujuan.
Contoh:
Minimumkan Z = 3X1 + 5X2
Fungsi batasan: 1) 2X1 = 8
2) 3X2 ≤ 15
3) 6X1 + 5X2 ≥ 30
Penyelesaian:
Fungsi batasan: 1) 2X1 + X3 = 8
2) 3X2 + X4 = 15
3) 6X1 + 5X2 -X5 + X6 = 30
Fungsi tujuan menjadi:
maksimumkan (-Z) = -3X1 – 5X2 –MX3 – MX6
diubah menjadi fungsi implisit => -Z + 3X1 + 5X2 + MX3 + MX6 = 0
Nilai – nilai variabel dasar (X3 dan X6 ) harus = 0, maka:
[ 3 5 M 0 0 M , 0 ]
-M [ 2 0 1 0 0 0 , 8 ]
-M [ 6 5 0 0 -1 1 , 30 ]
(-8M+3) (-5M+5) 0 0 M 0 , -38M

Tabel:
VD Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK index
Z -1 -8M+3 -5M+5 0 0 0 0 -38M
X3 0 2 0 1 0 0 0 8 4
X4 0 0 3 0 1 0 0 15
X6 0 6 -5 0 0 -1 1 30 5

Z -1 3 -5M+5 4M-3/2 0 M 0 -6M-12
X1 0 1 0 ½ 0 0 0 4
X4 0 0 3 0 1 0 0 15 5
X6 0 0 5 -3 0 -1 1 6 6/5

Z -1 0 0 M+3/2 0 1 M+1 -18 min
X1 0 1 0 ½ 0 0 0 4
X4 0 0 1 9/5 1 3/5 -3/5 5 2/5
X2 0 0 1 -3/5 0 -1/5 1/5 6/5

(karena –Z= -18, maka Z=18)
Penyelesaian optimal: X1 = 4, X2 = 6/5 dan Zmin = 18 +

BAB III. DUALITAS
Dalam sebuah pemodelan Pemrograman Linear, terdapat dua konsep yang saling
berlawanan. Konsep yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual.Bentuk
Dual adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagai
berikut:
Masalah Primal (atau Dual) Masalah Dual (atau Primal)
Koefisien fungsi tujuan ……………… Nilai kanan fungsi batasan
Maksimumkan Z (atau Y) …………... Minimumkan Y (atau Z)
Batasan i …………………………….. Variabel yi (atau xi)
Bentuk ≤ …………………………….. yi ≥ 0
Bentuk = …………………………….. yi ≥ dihilangkan
Variabel Xj ………………………….. Batasan j
Xj ≥ 0 ………………………………... Bentuk ≥
Xj ≥ 0 dihilangkan …………………... Bentuk =

Contoh 1:
Primal
Minimumkan Z = 5X1 + 2X2 + X3

Fungsi batasan: 1) 2X1 + 3X2 + X3 ≥ 20
2) 6X1 + 8X2 + 5X3 ≥ 30
3) 7X1 + X2 + 3X3 ≥ 40
X1 , X2 , X3 ≥ 0
Dual
Maksimumkan Y= 20 y1 + 30 y2 + 40 y3

Fungsi batasan: 1) 2y1 + 6y2 + 7y3 ≤ 5
2) 3y1 + 8y2 + y3 ≤ 2
3) y1 + 5y2 + 3y3 ≤ 1
y1, y2, y3 ≥ 0
Contoh 2 :
Primal
Minimumkan Z = 2X1 + X2
Fungsi batasan: 1) X1 + 5X2 ≤ 10
2) X1 + 3X2 ≤ 6
3) 2X1 + 2X2 ≤ 8
X1, X2 ≥ 0
Dual
Maksimumkan Y = 10 y1 + 6y2 + 8y3
Fungsi batasan : 1) y1 + y2 + 2y3 ≥ 2
2) 5y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 1
y1, y2 ≥ 0
BAB IV. MASALAH PENUGASAN (ASSIGNMENT PROBLEM)

Salah satu metode yang digunakan untuk Penugasan adalah Metode Hungarian.
Pada Metode Hungarian, jumlah sumber-sumber yang ditugaskan harus sama
persis dengan jumlah tugas yang akan diselesaikan. Setiap sumber harus
ditugaskan hanya untuk satu tugas. Jadi, masalah penugasan akan mencakup
sejumlah n sumber yang mempunyai n tugas, sehingga ada n! (n faktorial)
kemungkinan. Masalah ini dapat dijelaskan dengan mudah dalam bentuk matriks
segi empat, dimana baris-barisnya menunjukkan sumber-sumber dan kolom-
kolomnya menunjukkan tugas-tugas.
1. Masalah Minimisasi
Contoh:
Sebuah perusahaan kecil mempunyai 4 pekerjaan yang berbeda untuk diselesaikan
oleh 4 karyawan. Biaya penugasan seorang karyawan untuk pekerjaan yang
berbeda adalah berbeda karena sifat pekerjaan berbeda-beda. Setiap karyawan
mempunyai tingkat ketrampilan, pengalaman kerja dan latar belakang pendidikan
serta latihan yang berbeda pula. Sehingga biaya penyelesaian pekerjaan yang
sama oleh para karyawan yang berlainan juga berbeda. Tabel biaya sebagai
berikut:
pekerjaan
karyawan
I II III IV
Raihan Rp 150 Rp 200 Rp 180 Rp 220
Hamdan Rp 140 Rp 160 Rp 210 Rp 170
Hasan Rp 250 Rp 200 Rp 230 Rp 200
Dzakwan Rp 170 Rp 180 Rp 180 Rp 160

Masalahnya adalah bagaimana menugaskan keempat karyawan untuk
menyelesaikan keempat pekerjaan agar total biaya pekerjaan minimum.
Langkah-langkah:
1. Menyusun tabel biaya seperti tabel di atas.
2. Melakukan pengurangan baris, dengan cara:
a. memilih biaya terkecil setiap baris
3. Melakukan pengurangan kolom
Berdasarkan hasil tabel langkah 2, pilih biaya terkecil setiap kolom untuk
mengurangi seluruh biaya dalam kolom-kolom tersebut. Pada contoh di atas hanya
dilakukan pada kolom III karena semua kolom lainnya telah mempunyai elemen
yang bernilai nol (0). Jika langkah kedua telah menghasilkan paling sedikit satu
nilai nol pada setiap kolom, maka langkah ketiga dapat dihilangkan. Berikut
matrix total opportunity cost, dimana setiap baris dan kolom terdapat paling
sedikit satu nilai nol.
Tabel total opportunity cost matrix
pekerjaan
karyawan
I II III IV
Raihan 0 50 (30-20)=10 70
Hamdan 0 20 (70-20)=50 30
Hasan 50 0 (30-20)=10 0
Dzakwan 10 20 (20-20)=0 0

4. Membentuk penugasan optimum
Prosedur praktis untuk melakukan test optimalisasi adalah dengan menarik
sejumlah minimum garis horisontal dan/ atau vertikal untuk meliputi seluruh
elemen bernilai nol dalam total opportunity cost matrix. Jika jumlah garis sama
dengan jumlah baris/ kolom maka penugasan telah optimal. Jika tidak maka harus
direvisi
5. Melakukan revisi tabel
a. Untuk merevisi total opportunity cost, pilih angka terkecil yang tidak
terliput (dilewati) garis. (pada contoh di atas = 10)
b. Kurangkan angka yang tidak dilewati garis dengan angka terkecil (10)
c. Tambahkan angka yang terdapat pada persilangan garis dengan angka
terkecil (10) yaitu (50) pada Hasan dan (10) pada Dzakwan.
d. Kembali ke langkah 4
Revised matrix:
pekerjaan
karyawan
I II III IV
Raihan 0 40 0 60
Hamdan 0 10 40 20
Hasan 60 0 10 0
Dzakwan 20 20 0 0

Berikut tabel penugasannya

Penugasan Biaya
Raihan - III
Hamdan - I
Hasan - II
Dzakwan - IV
Rp 180
Rp 140
Rp 200
Rp 160
Rp 680

2. Jumlah Pekerjaan Tidak Sama Dengan Jumlah Karyawan
Bila jumlah pekerjaan lebih besar dari jumlah karyawan, maka harus ditambahkan
karyawan semu (dummy worker). Biaya semu sama dengan nol karena tidak akan
terjadi biaya bila suatu pekerjaan ditugaskan ke karyawan semu. Bila jumlah
karyawan lebih banyak daripada pekerjaan, maka ditambahkan pekerjaan semu

BAB V. METODE TRANSPORTASI

Metode Transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur
distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama ke tempat-
tempat yang membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah . Alokasi
produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya-biaya
alokasi dari satu sumber atau beberapa sumber ke tempat tujuan yang berbeda.
Tabel awal dapat dibuat dengan dua metode, yaitu:
1. Metode North West Corner (NWC) => dari pojok kiri atas ke pojok
kanan bawah
Kelemahan : tidak memperhitungkan besarnya biaya sehingga kurang
efisien.
2. Metode biaya terkecil => mencari dan memenuhi yang biayanya terkecil
dulu. Lebih efisien dibanding metode NWC.

Setelah tabel awal dibuat, tabel dapat dioptimalkan lagi dengan metode:
1. Stepping Stone (batu loncatan)
2. Modified Distribution Method (MODI)

Selain metode-metode di atas masih ada satu metode yang lebih sederhana
penggunaannya yaitu metode Vogel’s Approximation Method (VAM).
Contoh masalah transportasi:

ke
dari
Gudang A Gudang B Gudang C Kapasitas
pabrik
Pabrik
W
Rp 20 Rp 5 Rp 8 90
Pabrik
H
Rp 15 Rp 20 Rp 10 60
Pabrik
P
Rp 25 Rp 10 Rp 19 50
Kebutuhan gudang 50 110 40 200
2. Metode MODI
Langkah-langkah:
a. Misal tabel awal yang digunakan adalah tabel NWC
b. Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.
c. Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan rumus:
Ri + Kj = Ci
baris kolom biaya
1. W-A = R1 + K1 = 20
2. W-B = R1 + K2 = 5
3. H-B = R2 + K2 = 20
4. P-B = R3 + K2 = 10
5. P-C = R3 + K3 =19
dari persamaan di atas, hitung K1 dan R1 dengan cara meng-nol-kan variabel
R1 atau K1, misal R1 = 0
1. R1 + K1 = 20 => 0 + K1 = 20 , K1 =20
2. R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5
3. R2 + K2 = 20 => R2 + 5 = 20 , R2 = 15
4. R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5
5. R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14
Metode VAM
Metode VAM merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk
mengatur alokasi dari beberapa sumber ke daerah tujuan.
Langkah metode VAM:
1. Cari perbedaan dua biaya terkecil, yaitu terkecil pertama dan kedua
(kolom dan baris)
2. Pilih perbedaan terbesar antara baris dan kolom
3. Pilih biaya terendah
4. Isi sebanyak mungkin yang bisa dilakukan
5. Hilangkan baris / kolom yang terisi penuh
6. Ulangi langkah 1-5 sampai semua baris dan kolom seluruhnya
teralokasikan.